Di postingan sebelumnya saya menyinggung prinsip pengurutan yang baik Well-ordering principle

Setiap himpunan tak kosong yang beranggotakan bilangan asli mempunyai elemen terkecil

Prnsip yang teramat jelas, yang terang benerang, sebagai contoh

Jelas ketiga himpunan di atas menpunyai elemen terkecil. Sedangkan , interval terbuka dari 0 sampai 1 tidak mempunyai elemen terkecil. Misalkan ada elemen terkecil dari maka kita selalu bisa mengkontruksikan bilangan yang lebih kecil dari yaitu , tentu saja . Itu karena berisikan anggota bilangan real bukan bilangan asli sehingga tidak berlaku prinsip pengurutan yang baik.

Bukti

Kita akan membuktikan secara kontradiksi dengan metode induksi.

Andaikan himpunan tak kosong yang beranggotakan bilangan asli dan tidak mempunyai elemen terkecil.

Diberikan

Karena tidak mempunyai elemen terkecil maka . Andaikan saja maka akan menjadi elemen terkecil di padahal tidak mempunyai elemen terkecil. Jadi jelas haruslah . Jelas juga bahwa

Asumsi maka setiap bilangan asli yang kurang atau sama dengan juga kurang atau sama dengan untuk setiap . Itu berarti , karena maka .

Jika maka akan menjadi elemen terkecil di . Haruslah

Dengan prinsip induksi matematika, berakibat . Artinya yang kontradiksi dengan asumsi S bukan himpunan kosong. Oleh karena itu dapat disimpulkan setiap himpunan tak kosong yang berisikan bilangan asli haruslah mempunyai elemen terkecil.