Turunan penjumlahan n sebanyak n kali

Twitter @pickover

Umumnya fallacy pembuktian 1=2 melibatkan pembagian dengan nol ( division by zero). Namun fallacy di atas tidak melibatkan hal itu. Sekarang mari kita bahas, apa yg salah dari gambar di atas.

Persamaan n^2=\underbrace{n+n+n\cdots+n\,}_{\text{n kali}} hanya berlaku untuk n bilangan asli, n\in \mathbb{N}. Jika persamaan tersebut diubah kebentuk fungsi, kita mendapatkan fungsi g(n)=n^2 dengan n\in \mathbb{N}. Fungsi tersebut memetakan bilangan asli ke bilangan asli, dengan kata lain domain dan codomainnya adalah bilangan asli.

Sekarang kita lihat definisi turunan suatu fungsi. Turunan dari fungsi f(x) didefinisikan

f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Itu berarti turunan dari g(n) adalah

g'(n)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(n+h)^2-n^2}{h}

Permasalahannya terletak pada n+h yang bukan bilangan asli karena h \rightarrow 0 sangat kecil mendekati nol. Ambil contoh n=1 dan h=0.00000001, jelas n+h=1,00000001 bukan lah bilangan asli. Jika n+h bukan bilangan asli maka dengan sendirinya (n+h)^2 juga bilangn asli. Padahal g(n) meminta input dan outputnya haruslah bilangan asli.

So..disimpulkan g(n) tidak memiliki turunan, kalo dipaksakan bakal ngaco seperti gambar diatas.

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s