Dugaan Pólya

Waktu SD, kita belajar tentang bilangan prima yaitu bilangan asli lebih besar dari 1 yang hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri.

10 bilangan asli pertama: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Bilangan asli layaknya atom yang menyusun bilangan. Setiap bilangan bisa difaktorkan menjadi hasil perkalian bilangan-bilangan prima. Istilahnya faktorisasi prima

  • 6=2×3 tersusun dari 2 bilangan prima berbeda
  • 8=2x2x2 tersusun dari 3 bilangan prima.
  • 60=2x2x3x5 tersusun dari 4 bilangan prima
  • Untuk bilangan prima, hanya memiliki 1 faktor prima yaitu dirinya sendiri.

Dari banyaknya faktor prima yang dimiliki oleh bilangan, kita bisa mengkelompokkan bilangan menjadi 2 kelompok.

  1. Tipe ganjil, jika faktor primanya berjumlah ganjil. Contoh: 8, bilangan prima jelas bertipe ganjil.
  2. Tipe genap, jika faktor primanya berjumlah genap. contoh: 6, 60

Pada tahun 1919, Matematikawan Hungaria,George Pólya menuliskan dugaan:

Dugaan Pólya: Dari 2 sampai dengan n, munculnya bilangan tipe ganjil lebih banyak daripada tipe genap.

Sebagai contoh, kita ambil n=10, itu artinya dari 2 sampai 10, kita mendapatkan 5 tipe ganjil yaitu 2, 3, 5, 7, 8 dan 4 tipe genap yaitu 4, 6, 9, 10.

Yang namanya dugaan kan bisa bener bisa salah, dugaan gak ada bedanya dengan tebak-tebakkan. Secara intuisi dugaan tersebut terasa benar, dari 2 sampai n, semakin besar n yang kita pilih maka kita semakin sering bertemu bilangan prima yang sudah dipastikan bertipe ganjil, sedangkan untuk bilangan komposite bisa bertipe ganjil atau genap.

Sumber: wikipedia

Grafik ditas menunjukkan banyaknya tipe genap dikurang tipe ganjil dari 2 sampai 10juta. Terlihat bernilai negatif artinya tipe ganjil selalu unggul. Dari grafik sepertinya mustahil membayangkan tipe genap menang.

Apakah bisa kita simpulkan Dugaan Pólya itu benar?

Dalam matematika, suatu pernyataan bernilai salah, jika kita bisa menunjukkan satu saja, cukup satu contoh sangkalan (Counter example) yaitu contoh yang membantah pernyataan tersebut.

Tahun 1958 Brian Haselgrove menujukkan Dugaan Pólya punya contoh sangkalan yang diperkirakan disekitar 1.845 × 10361. Beuh sebuah nilai yang amat besar. Barulah ditahun 1980, Sherman Lehman memberikan contoh sangkalan yang pasti n = 906.180.359. Dua puluh tahun kemudian tahun 1980, Minoru Tanaka menemukan contoh sangkalan terkecil di n = 906.150.257, hanya selisih sekitar 30 ribuan dari Lehman.

Pesan Moral

Dugaan Pólya menunjukkan bahwa pembuktian itu tidak sama dengan percobaan/ pengujian. Dugaan Pólya teruji benar sampai lebih dari 900 juta. Namun itu sama sekali tidak menjamin seterusnya akan selalu benar.

Itulah sebabnya di matematika, kebenaran itu dibuktikan, diberi argumen logis yang meyakinkan bukan diuji cobakan.

Dulu dosen saya pernah berkata

Bukti itu gak boleh pakai contoh

Sekarang saya baru bener-bener paham apa maksud dari ucapan beliau

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Teori Bilangan and tagged , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s