Identitas Euler dengan deret Taylor

Identitas Euler banyak yang bilang inilah persamaan Matematika yang paling cantik. Karena menghubungkan 5 konstanta utama di Matematika yaitu e, i, π, 0, & 1 hanya dengan operasi aljabar sederhana pangkat dan penjumlahan. Sebenernya sata sudah pernah membahas hal ini sebelumnya. Ketika itu saya menggunakan kalkulus kompleks untuk mendapatkan identitas Euler. Sekarang saya akan menggunakan deret taylor untuk mendapatkannya.

Kita lihat ekspansi deret taylor untuk fungsi eksponensial, sinus dan cosinus:

  • e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
  • \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+2}
  • cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^2}{2!}-\cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}

Selanjutnya kira mulai dari ekspansi deret talyor fungsi eksponen

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+ \cdots

Kita ganti variabel x dengan ix dimana i= \sqrt{-1}

e^ix=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+ \cdots

Kita tahu bahwa i^2=-1, i^3=-i, i^4=1 begitu seterusnya, diperoleh

e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}+ \cdots

Kita susun ulang, kumpulkan bagian imajiner secara bersamaan diperoleh

e^{ix}=[1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\cdots ]+[ix-\frac{ix^3}{3!}+\frac{ix^5}{5!} \cdots]

e^{ix}=[1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\cdots ]+i[x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} \cdots]

Bisa kita lihat, bagian real merupakan deret taylor untuk cosinus sedangkan bagian imajinernya adalah deret taylor untuk sinus, sehingga

e^{ix}= \cos x+ i \sin x

Persamaan diatas dinamakan rumus Euler. Nah.. untuk mendapatkan identitas Euler, kita memasukkan π ke x

e^{i\pi}= \cos \pi+ i \sin \pi

Kita tahu bahwa \cos \pi=-1 dan \sin \pi=0, dipeoleh

e^{i\pi}= -1+ 0

e^{i\pi}+1=0

Sekarang kita telah mendapatkan Identitas Euler yang amat cantik

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s