Perkalian dengan bilangan di antara nol dan satu

Teorema: Jika 0<a<1 dan 0<x maka berlaku ax<x

Teorema diatas mengatakan jika kita mengalikan bilangan a yang nilainya diantara nol dan satu dengan bilangan positif x maka hasil perkaliannya yaitu ax akan selalu kurang dari x

Sebagai contoh diambil ½ dan 10, tentu saja ½×10=5 kurang dari 10

Bukti

Akan dibuktikan dengan cara kontradiksi

Asumsi

ax>x

ax-x>0

x(a-1)>0

Karena 0<a<1 maka (a-1) haruslah bernilai negatif dengan kata lain (a-1)<0, sedangkan x bernilai positif. So.. x(a-1) haruslah bernilai negatif x(a-1)<0 terjadi kontradiksi dengan baris terakhir x(a-1)>0.

QED

Posted in pembuktian | Tagged , , | Leave a comment

Ukuran bilangan Kompleks

pada video diatas saya menjelakan bahwa bilangan real \mathbb{R} memiliki kardinalitas (ukuran) yang lebih besar daripada bilangan asli \mathbb{N}.

Nah…sekarang bagaimana dengan bilangan kompleks \mathbb{C}?

Intuisi kita akan mengatakan bahwa ukuran \mathbb{C} lebih besar daripada \mathbb{R}. Karena bilangan kompleks berbentuk a+bi dengan a, b adalah bilangan real dan i=\sqrt{-1}. Dengan kata lain bilangan kompleks terdiri dari sepasang bilangan real. Jika kita lihat representatif geometrisnya, bilangan kompleks berbentuk bidang, dimensi-2

Sumber: wikipedia

Sedangkan bilangan real berbentuk garis, dimensi-1

Sumber: briliant.org

Dengan fakta-fakta diatas, tentunya intuisi kita kan menyimpulkan bilangan kompleks memiliki kardinalitas yang lebih besar daripada bilangan real. Sayang kesimpulan tersebut keliru

Bilangan kompleks mempunyai kardinalitas yang sama besar dengan bilangan real

Continue reading

Posted in Complex | Tagged , , | Leave a comment

akar i

Kita tahu bahwa i=\sqrt{-1}

Nah..sekarang pertanyaannya

Berapa \sqrt{i}?

Kita tahu bahwa \sqrt{a}=b artinya a=b². Itu artinya mencari \sqrt{i}, kita harus menemukan bilangan kompleks a+bi yang memenuhi

i=(a+bi)^2

Kita jabarkan

i=(a^2-b^2)+2b^2i

Diketahui bagian real dari i adalah 0, itu berarti

0=a^2-b^2

a^2=b^2

a=b

Sedangkan bagian imajiner dari i adalah 1, itu berarti

1=2b^2

\frac{1}{\sqrt{2}}=b

Karena a= b maka \frac{1}{\sqrt{2}}=b=a.

So..disimpulkan

\sqrt{i}= \frac{1}{\sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}}i

Eh..tapi kita belum beres lho karena \sqrt{i} masih punya solusi yang lain.

Itu karena a^2=b^2 mempunyai dua solusi selain a=b juga berlaku a=-b. Jadi solusi lain dari \sqrt{i} adalah

\sqrt{i}=- \frac{1}{\sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}}i

Posted in Complex | Tagged | Leave a comment

Konsep Tak Hinggga

Ini sebenernya video pembelajaran untuk murid-murid saya. Akan tetapi saya melihat banyak orang yang salah paham dengan konsep tak hingga maka saya posting disini.

Semoga bermanfaat

Posted in dll | Tagged , | Leave a comment

Pembuktian Prinsip Rumah Merpati

Sumber: Wikipedia

Saya pernah membahas prinsip rumah merpati (pigeonhole priciple) dan contoh aplikasinya di sini.

Prinsip Rumah Merpati: Jika ada n merpati dan m rumah merpati dengan n > m (banyaknya merpati lebih banyak daripada rumahnya) maka paling tidak ada 1 rumah yang diisi lebih dari 1 merpati.

Prinsip yang teramat-amat jelas sekali. Kalo bahasa memenya

Namun di matematika, selama itu bukan aksioma maka kita harus membuktikannya, kita harus meragukannya.

Bukti:

Akan dibuktikan secara kontrapositif. Andaikan m rumah merpati tidak ada yang diisi lebih dari 1 merpati. Itu artinya banyaknya merpati (n) paling banyak m (n≤ m). Padahal diketahui merpati lebih banyak daripada rumahnya (n>m). Kontradiksi

***

Waktu masih kuliah saya sering berkomentar ” ngapain sich kayak begitu pake dibuktiin segala, wong sudah jelas kok”. Eh..ternyata itulah matematika menuntut kita untuk selalu berpikir kritis bahkan untuk sesuatu yang sudah jelas sekalipun

Posted in pembuktian | Tagged , , | 3 Comments

Tali Mengitari Bumi

Menurut mbah Google, keliling Bumi adalah 40.075km atau lebih dari 40 juta meter. Sekarang bayangkan ada tali yang mengitari sekeliling garis khatulistiwa dengan panjang yang sama dengan keliling bumi. Itu artinya tali tersebut menempel di Bumi tanpa ada celah sama sekali. Selanjut tali tersebut kita perpanjang 1 meter (Cuman 1 m bukan 1 km lho). Tentu saja hal tersebut akan menciptakan celah antara tali dan bumi. Nah..yang jadi pertanyaan:

Apa objek terbesar yang bisa melalui celah tersebut?

  • Jarum
  • Kelereng
  • Kucing
  • Pesawat

Intuisi kita mengatakan celah yang tercipta pasti sempit karena kita hanya menambakan 1 meter dari keliling yang berukuran dari 40 juta meter .Padahal sbenernya lebar celah gak sempit-sempit ama yaitu 16 cm. Bisa dilalui oleh kucing. Eh..kalo kucing yang gede, yang obesitas belum tentu juga sich

Continue reading
Posted in geometri, teka-teki | Tagged , , | 1 Comment

Apa bilangan prima terkecil?

Saya menemukan paper yang menarik berjudul “What is the Smallest Prime?

Apa bilangan prima terkecil?

Sekarang jawaban dari pertanyaan teramat jelas, terang benerang bahwa 2 adalah bilangan prima terkecil tetapi dulu tidak demikian jawabannya. Ada masa dimana 1 dianggap sebagai bilangan prima terkecil. Sampai awal abad 20 mayoritas matematikawan menganggap 1 adalah prima.

Membicarakan keprimaan sulit rasanya jika tidak membicarakan Torema Fundamentar Aritmatika [TFA]

TFA: Setiap bilangan bulat postif kecuali 1 bisa direpesentasikan tepat satu saca sebagai hasil perkalian satu atau beberapa prima.

Untuk bukti silahkan klik di sini. TFA ini menjadikan bilangan prima seperti atom yang menyusun suatu bilangan bulat positif. Setiap bilangan memiliki struktur atom yang unik yang berebada satu saa lain. Sebagai contoh 4=2×2, 6=2×3, 11=11 (karena prima).

TFA ini adalah alasan atau argumen mengapa 1 bukan bilangan prima, karena jika 1 bilangan primana aka ada banyak cara merepresentasikan bilangan bulat postif sebahai hasil kali bilangan=bilangan prima

4=2×2=2×2×1=2×2×1×1=2×2×1×1×1×1×1×1

Padahal TFA mensyaratkan tepat satu cara.

Kalau begitu dulu belum ada TFA, eh..jangan salah TFA adalah salah satu teorema pertama di Matematika. TFA dicetuskan oleh matematikawan yunani kuno, Euclid yang hidup sekitar abad ke-3 SM. Gak usah bingung dulu, itu karena

Dulu satu bukan bilangan

Kalau 1 bukan bilangan lalu satu itu makanan apa? Pada buku 7 dari Elements, Euclid mendefiniskan unit, bilangan dan prima sebagai berikut:

Continue reading
Posted in aljabar | Tagged , | 3 Comments

Pembuktian satu kali satu sama dengan satu

Sumber: IMDB

Saya menemukan berita lama tahun 2015 yang menggelitik saya. Berita tersebut mengatakan artis Terence Howard (yang saya ingat dia memerankan Kolenel James Rhodes di film Iron Man pertama), dia tidak bisa menerima 1×1=1 menurutnya 1×1 harusnya 2.

“How can it equal one? If one times one equals one that means that two is of no value because one times itself has no effect. One times one equals two because the square root of four is two, so what’s the square root of two? Should be one, but we’re told its two, and that cannot be.”

Dia berargumen karena 4 =2 maka haruslah 2=1 itu berarti 12 =1×1=2.

Sekarang mari buktikan (secara sederhana bukan formal matematis) bahwa 1×1=2. Btw sebenarnya secara Matematis tepatnya Aljabar, hasil dari 1×1 itu bisa berapapun tergantung bagaimana operasi × didefinisikan. Tentu saya disini kita mengasumsikan operasi perkalian yang dimaksud oleh Om Howard adalah operasi perkalian yang digunakan sehari-hari.

Banyak Matematikawan yang mengatakan Bahasa dan Matematika itu 2 hal yang serupa. Saya sendiri memahami matematika dan bahasa memiliki kaidah yang sama. Perhatikan kalimat berikut

Continue reading
Posted in dll, pembuktian | 1 Comment

Identitas Cassini

Sudah lama saya tidak membahas bilangan Fibbonacci, buat yang belum tahu bbilangan tersebut berawal dari 0 dan 1 dan bilangan selanjutnya adalah penjumlahan 2 bilangan sebelumnya secara berutatan. Secara umum, jika F_n adalah bilangan Fibonacci ke-n maka F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}. Denagan aturan sederhana ini maka kita mendapat barisan fibonacci sebagai berikut

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Fibonacci memiliki sifat yang menarik, silahkan perhatika tabel berikut

\begin{array}{ccc} n & F_{n}^{2} & F_{n-1}\cdot F_{n+1}\\ 1 & 1^{2}=1 & 0\cdot1=0\\ 2 & 1^{2}=1 & 1\cdot2=2\\ 3 & 2^{2}=4 & 1\cdot3=3\\ 4 & 3^{2}=9 & 2\cdot5=10\\ 5 & 5^{2}=25 & 3\cdot8=24\\ 6 & 8^{2}=64 & 5\cdot13=65 \end{array}

Sudah terlihat polanya? Tampalnya kuadrat dari suatu bilangan Fibonacci dan hasil kali bilangan Fibonacci sebelum dengan sesudahnya selalu berbeda 1. Kalau kita perharikan lagi untuk n ganjil maka F_{n}^{2} lebih besar 1 daripada F_{n-1}\cdot F_{n+1}. Sedangkan untuk n genap berlaku sebaliknya.

Secara aljabar hal tersebut dapat ditulis

F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}

Identitas diatas dianamakan Identitas Cassini karena pertamakali dipublikasilan oleh Astronomer Italia Gian Domenico Cassini pada tahun 1680

Sekarang mari kita buktikan dengan metode Induksi Matematika.

Langkah Dasar

Untuk n=1 maka

F_{0}\cdot F_{2}-F_{1}^{2}=0\cdot1-1^{2}=-1=(-1)^{1}

Terbukti benar untuk n=1

Langkah Induksi

Ambil n=k, diasumsikan benar untuk

F_{k-1}\cdot F_{k+1}-F_{k}^{2}=(-1)^{k}

Akan dibuktikan, untuk n=k+1 maka berlaku

Continue reading
Posted in aljabar | Tagged , | 2 Comments

Pisau Cukur Occam (Jangan lebay dalam berpikir)

Sumber: rationally speaking

Pisau Cukur Occam (Occam’s Razor) adalah prinsip berpikir dalam sains dan tentu saja Matematika. Prinsip ini berkata

entities should not be multiplied without necessity

Prinsip ini diambil dari nama Fransiskan Inggris William of Occam yang hidup di abad ke-13 Jika diterjemahkan secara bebas: entitas tidak boleh dilipat gandakan tanpa kebutuhaan. Prinsip ini adalah prinsip kesederhanaan dalam sains. Kita hanya menggunakan hal-hal yang dibutuhkan saja, yang tidak dibutuhkan bisa kita buang, kita potong, ibarat jambang di wajah yang merusak kerapihan.

Tanpa kita sadari pisau cukur Occam sering kita gunakan dalam matematika, khusunya dalam menjawab soal cerita.

  • Tono anaknya Pak Broto dan Bu Anik mendapatkan 3 permen dari Bude Nunung sedangkan dari pak Adi yang merupakan tetangganya, memberikan 5 permen ke Tono. Berapa jumlah permen yang dimiliki Tono?

Untuk menjawab soal diatas kita harus bisa membuang hal-hal yang tidak penting dan hanya menyisakan hal-hal yang penting saja yaitu 3 permen dan 5 permen

Continue reading
Posted in Logika | Tagged , , | 2 Comments